Современная математика. Исток. Проблемы. Перспективы

предсказуемая), что, понимаемая буквально, грандиозная и благая программа Гильберта по созданию полной и непротиворечивой системы оснований математики неосуществима В ПРИНЦИПЕ. Необъятное формализовать, объять и осмыслить нельзя; подчинить человеческой воле и разуму - тем паче! Это доступно Одному лишь ВСЕВЫШНЕМУ…
«Достижения Курта Гёделя в современной логике совершенно монументальны. На самом деле они есть более, чем монумент. Это - веха на интеллектуальном ландшафте, которая останется зримой издалека… Предмет логики определённым образом изменил свою природу и возможности после открытия Гёделя». /Джон фон Нейман/…

Про провал гильбертовской программы в Википедии сказано так:
«…проблема непротиворечивости формализованных математических теорий оказалась глубже и труднее, чем Гильберт предполагал сначала, и понятие истинности не удалось свести к логической выводимости. Кроме <…> теорем Гёделя, гибельными ударами по программе Гильберта стали результаты Гёделя и Тарского (1931-1933) о невозможности для формальной теории определить собственное понятие истины, отличное от простой выводимости, а также теорема Лёвенгейма-Скулема, согласно которой финитные теории первого порядка слишком слабы, чтобы контролировать кардинальное число своих моделей (в логике второго порядка положение иное). Тезис Чёрча-Тьюринга, обсуждавшийся в этот же период, ограничил логику первого порядка и в вопросе алгоритмической вычислимости.
Но вся дальнейшая работа над логическими основами математики в значительной мере идёт по пути, намеченному Гильбертом, и использует созданные им концепции...»

После работ Гёделя многих значительных европейских математиков охватила нешуточная внутренняя паника и пессимизм, связанные с потерей смысла творчества.
«Сейчас мы менее чем когда-либо уверены в первичных основаниях математики и логики. Мы переживаем свой «кризис» подобно тому, как переживают его все и вся в современном мире. Кризис этот продолжается вот уже пятьдесят лет. На первый взгляд кажется, будто нашей повседневной работе он особенно не мешает. Тем не менее, я должен сразу же признаться, что на мою математическую работу этот кризис оказал заметное практическое влияние: он направил мои интересы в области, которые я считал относительно «безопасными», и постоянно подтачивал энтузиазм и решимость, с которой я занимался своими исследованиями. Мой опыт, вероятно, разделили и другие математики, небезразличные к тому, какое место их собственная научная деятельность занимает в этом мире в общем контексте бытия человека, интересующего, страдающего и созидающего» /Г. Вейль, 1946 год/…

Но больше всего по-человечески жаль самого Гильберта: не заслужил он под старость подобной печальной участи, когда одним махом фактически было перечёркнуто ДЕЛО всей его жизни! Гений его был поистине велик и многогранен, сердце чутко и отзывчиво, а душа широка как у славянина-русича. Считая с логической точки зрения крайне-необходимой полную формализацию всей математики, он в то же время верил и в силу творческой математической интуиции. Сиречь он не отрицал работы вечно оппонировавшего ему Пуанкаре и его единомышленников-интуиционистов, поносивших его на чём свет стоит, называвших трудягу-Гильберта “шарлатаном” и “пустозвоном”. Сам он до подобного не опускался: характер и воспитание не позволяли.
Но при этом при всём Гильберт был решительным и яростным противником попыток интуиционистов ввести ограничения на математическое творчество (запретить теорию множеств, к примеру, аксиому выбора или даже закон исключённого третьего). Эта его незыблемая позиция даже породила в научной среде дискуссию, в ходе которой теорию строгих логических доказательств Гильберта часть математиков обозвала без-содержательной и пустой игрой с формулами.
И, тем не менее, несмотря на критику и поношения, именно исследования Гильберта и его школы оставили наиболее глубокий след в области оснований математики и по существу сформировали современное лицо этой наиважнейшей науки. Как это не раз бывало в истории естествознания, и математики - в том числе, в процессе решения этой утопической в целом задачи было накоплено подлинное богатство в виде новых первоклассных теорий, понятий и методов, которыми с успехом пользуются теперь естествоиспытатели всей планеты…

И ещё всенепременно стоит повторить в завершении, что для творчества Гильберта были характерны абсолютная уверенность в неограниченной силе человеческого разума, убеждение в единстве математической науки и единстве математики и естествознания. Собрание сочинений Гильберта кончается статьёй «Познание природы», а сама статья - лозунгом «Мы должны знать - мы будем знать» (Wir müssen wissen. Wir werden wissen.).

5

ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ КАК ПОЛНОЦЕННОЕ ОСНОВАНИЕ МАТЕМАТИКИ.
После работ К.Гёделя разрушился сам идеал логики как незыблемый критерий строгости математического доказательства. Поэтому перед математиками встала задача восстановления былой надёжности и достоверности математического знания путём создания прочной основы, базиса. И в качестве такого базиса группа известных европейских учёных решила выдвинуть теорию множеств Кантора.
Первую аксиоматизацию теории множеств ещё в 1908 году опубликовал немецкий математик Эрнст Цермело; в 1922 году она была усовершенствована евреем Абрахамом Френкелем и теперь известна как теория Цермело-Френкеля.
Общепризнанно, что сильной стороной теории множеств в качестве оснований математики является её абстрактность (а значит универсальность) - понятие множества пронизывает почти все разделы математики, объединяя их единой стратегией, идеологией и терминологией.
Но есть и слабая сторона. Так, после результатов Гёделя пришлось отказаться от надежд доказать непротиворечивость и полноту аксиоматики теории множеств, как их понимал Гильберт. Например, гипотеза континуума в ней недоказуема, а значит и сама теория неполна.
Есть и другие минусы этой в целом универсальной и качественной системы, которые автоматически проецируются и на все ветви огромного математического древа, берущие теорию множеств за основу, за точку отсчёта, за базис, за корневища. А таких, повторим, теперь большинство… Так, фундаментом этой теории, как известно, является аксиома выбора. Но данная аксиома коварна и двойственна. В отношении неё у математиков имеется 4 принципиально отличные возможности: принять, отвергнуть, принять в ограниченном виде (например, только аксиому счётного выбора) или принять альтернативную аксиому детерминированности. Понятно, что от выбора базовой аксиомы будет разработана в дальнейшем и принципиально отличная математика от других… При этом, что характерно и поражает больше всего, нет объективных и разумных оснований предпочесть один из этих 4-х вариантов: с точки зрения логики и здравого смысла они все убедительны, законны и правомочны.
Всё то же самое, точь-в-точь, касается и базовой континуум-гипотезы: произвол в принятии, частичном принятии или непринятии её ведёт и к различным же математическим построениям…

На практике это означает, что в принципе существует не одна математика, а целое семейство, семейство клонов так называемых, или же “близнецов-двойников”, члены которого, однако, несовместимы друг с другом, а часто и противоречат, дают различные результаты и выводы… А поскольку разные варианты математики нередко содержат и разные результаты, именно так! - «математика не может более рассматриваться как источник абсолютных истин, справедливых независимо от формальных оснований математических теорий». Вот ведь до чего дело дошло, до какой крамолы и ужаса!!!
Мало того, все эти аксиоматические споры и диспуты поставили перед учёными и другой необычайно-трудный и принципиально-важный вопрос, жизненно-важный даже: что вообще означает в математике само понятие “существования”?...

6

Неутешительный итог всех выше описанных изысканий был таков. Формализовать “раздобревшую”, “разрумянившуюся” и “раздавшуюся ввысь и вширь” царицу наук, и потом подвести общий фундамент в виде достаточно полной и непротиворечивой системы аксиом и универсальных правил работы с ними под всё современное здание математики учёным так и не удалось - ни европейским, ни российским, ни советским. Точная наука безнадежно атомизировалась, увы, рассыпалась на многочисленные и независимые друг от друга части, которые уже невозможно собрать в единое целое и наделить единым инструментарием, как и едиными же инструкциями и правилами бытия - осуществить мечту Гильберта. Все эти части, члены некогда единой семьи, живут теперь своей собственной бурной и счастливой жизнью - и слышать ничего не желают про осиротевший “отчий дом”, из которого все они вышли…

Но, всё равно, танцевать от чего-то надобно было, не правда ли, зацепиться хотя бы за что-то, чтобы работать дальше - не ставить на всей классической математике крест.
Поэтому «современная математика, - без-страстно сообщают про возникший трагизм положения энциклопедии, - преимущественно опирается на систему Цермело-Френкеля или её аналоги, которые первичными объектами признают множества. Исследования в этой области продолжаются, хотя существует мнение, что обоснование может быть полезно для развития отдельных математических теорий или философии, но математика в целом ни в каком обосновании не нуждается»...

7

И получается, что если в 19-м веке святая и праведная ВЕРА в то, что законы математики составляют своего рода “идейный скелет” мiроздания, пошатнулась, - то в 20-м веке она и вовсе рухнула, поднявши пыль до небес и поселив в головах и душах учёных смятения и растерянность.
Главной причиной этого стал ощутимый диссонанс - и это мягко сказано - между ожиданиями, возлагавшимися на математику (в первую очередь, восприятием её как способной достичь, а возможно уже и достигшей, единства и абсолютной строгости), и “отказом от теологических аргументов в философии математики”. Другой причиной было бурное развитие чистой математики, создававшей множество альтернативных теорий, не имевших никакой прямой связи с эмпирическим мiром.
До “неевклидовой ереси” и “наивной теории множеств” все учёные-естествоиспытатели были твёрдо убеждены, что законы математики абсолютны, без-спорны и очевидны, однозначны, единственны и точны; что они спущены “сверху” и имеют отчётливо-выраженный “онтологический статус”, на чём уже настаивал Платон; которого в этом поддерживали, между прочим, и математики 20-го века. Г.Вейль например, заявивший однажды: «Наш мир - это не хаос, но космос, гармонически упорядоченный нерушимыми законами математики»…
После же работ Лобачевского, Римана и особенно Кантора возобладала обратная точка зрения, высказанная в своё время влиятельным европейским философом Кантом, которую мы уже приводили выше. Не поленимся и повторим её ввиду особой важности, ибо “повторение - мать учения!...” Так вот, по просвещённому мнению И.Канта, «математика открывает законы не внешнего мира, а человеческого разума, который упорядочивает природу по собственным, встроенным от