ЕГЭ этого года по математике. Решение задачи 2

В моей заметке Ссылка была сформулирована как наиболее тонкая (олимпиадная) т.н. Задача 2.
Я повторяю её формулировку и привожу обещанное решение.
Спасибо всем за ожидание, уважаемые коллеги!


Задача2:  Задача №19.6 (Центр)
Задано множество из 10 положительных целых чисел, среди которых нет одинаковых.
Известно, что среднее арифметическое любых трех, четырех, пяти, шести чисел является целым числом.
Одно из чисел равно 30032.

Вопросы:
1) Может ли в это множество входить число 312?
2) Может ли отношение двух чисел из этого множества (обозначим через n) быть равно 6?
3) Найти минимально возможное значение этого числа n.

Решение.

Шаг1. Докажем, что разность любых двух чисел множества делится на 60.
Рассмотрим из множества четыре произвольных числа a b c d.
Имеем по условию: a+b+c - делится на 3,  a+b+d - делится на 3
Вычитая одно равенство из другого, получим: c-d делится на 3.
А так как числа c и d - произвольные, то разность любых двух чисел множества делится на 3.

Рассмотрим из множества аналогично пять произвольных числа a b c d e.
Имеем по условию: a+b+c+d - делится на 4,  a+b+c+e - делится на 4
Вычитая одно равенство из другого, получим: d-e делится на 4.
А так как числа d и e - произвольные, то разность любых двух чисел множества делится на 4.

Аналогично получим, что разность любых двух чисел множества делится на 5 и 6.
Потому разность любых двух чисел множества делится на наименьшее общее кратное этих чисел 3, 4, 5, 6, то есть делится на число 60.
Шаг 1 завершен.

Шаг2.
Ответ на вопрос 1): Покажем, что число 312 не входит в это множество.
Имеем: так как число 30032 входит в множество, то если бы и 312 входило, то (по шагу 1) их разность должна была делиться на 60.
Но эта разность есть 30032-312 = 29720 - не делится на 60.
Шаг 2 завершен.

Шаг3.
Ответ на вопрос 3): Покажем, что минимальное отношение двух чисел множества равно 16.
Тем самым мы также ответим на вопрос 2): отношение двух чисел не может быть равно 6.
Возьмем два произвольных неравных числа из множества a и b.
По шагу 1 имеем: а = 30032 + 60c, а = 30032 + 60d, где c и d целые (и неравные, так как a не равно b).
Рассмотрим отношение (a-b)/b, которому нужно быть целым (и не равным 0, так как a и b разные числа).
Оно равно 60(с-d)/(30032+60d).
Сократим числитель и знаменатель на 4, получим 15(с-d)/(7508+15d). Дальше не сокращаются.
А так как числа 15 и 7508 взаимно просты, то полученное число 15(с-d)/(7508+15d) должно делиться на 15 (15 стоит в числителе).
Поэтому минимальное неравное 0 число будет 15, то есть (a-b)/b = 15.
Поэтому минимальное отношение a/b будет 16.
Шаг 3 завершен.

Задача решена полностью, ура!