Вопрос: зачем нужна математика?
Ответ: чтобы мы все от нее сдохли.
Нет сомнения в том, что почти все фундаментальные научные открытия были сделаны еще древними греками. Одно из них потрясает воображение — для того чтобы изучать реалии, надо уйти в абстракцию (построить модель реалии), исследовать эту абстракцию, а затем наложив полученные результаты на реалии, получить практические результаты. Тем самым, был сделан первый шаг к сотворению универсальной абстракции — математики, краеугольным камнем которой выступает число.
По мнению Пифагора, число — это сущность всех вещей, то есть весь видимый мир есть ни что иное, как воплощенные числа, и все отношения между предметами сводятся, в конечном счете, к отношениям между заключенными в них числами.
Многие, не разделяя такую «радикальную» точку зрения, тем не менее, отдавали числу должное:
В оный день, когда над миром новым
Бог склонял лицо Своё, тогда
Солнце останавливали словом,
Словом разрушали города.
…
И орел не взмахивал крылами,
Звезды жались в ужасе к Луне,
Если, точно розовое пламя,
Слово проплывало в вышине.
А для низкой жизни были числа,
Как домашний, подъяремный скот,
Потому что все оттенки смысла
Умное число передает.
Николай Гумилёв, «Слово»
Феномен математики и числа до сего времени остается предметом спора не только между философами и историками науки, но и между самими учеными-математиками. Вместе с тем доподлинно установлено, что математика бывает фундаментальная и прикладная, классическая и нечеткая.
Фундаментальная или, как ее иногда называют, чистая математика — это сосуд замкнутый сам в себе и никак не связанный с окружающими реалиями, в том смысле, что ее дефиниции не формируются средой, однако сами в опосредованной форме формируют эту среду. Говоря языком не так давно ушедшей эпохи, фундаментальная математика не отражает чаяния и стремления трудового народа, а прогуливается по нашей жизни как кошка — сама по себе, вызывая восхищение или порицание несведущего обывателя.
Все базовые понятия этой математики, в частности, такие как «нуль», «точка», «прямая», «плоскость», «бесконечно малая», «бесконечно большая» — есть абстракции. Соответственно, построенные с их использованием конструкции — тоже абстракции. Удивительно, но именно такое абстрагирование позволяет создать инструментарий, способный конструктивно решать практические проблемы.
Базовые математические понятия категорически запрещено «офизичивать», то есть придавать им какой-либо практический смысл. А если такая процедура осуществляется, то результаты содеянного всегда будут глупостью. В частности, математические парадоксы типа «колесо Аристотеля» связаны с тем, что «математическая точка» — понятие бессодержательное, «бестелесное». Из этих точек ничего не складывается и ничего не собирается (прямая или любая другая линия не состоит, как это интуитивно представляется, из точек), а сама точка ни на что не раскладывается и не может быть собрана из чего-либо. Вот такая эта фундаментальная математика, понять которую могут единицы Богом помеченных людей, а служить ей способны гении не от мира сего. Классическими математиками рождаются, но не становятся.
Другое дело — прикладная или практическая математика, которая названа так, потому что тот, кто ею занимается как бы «прикладывает» математику к жизненным проблемам. Она тесно связана с практикой и помогает специалистам различного профиля решать насущные задачи. В ней все, даже бесконечно малая величина, имеет смысл и получает ту или иную интерпретацию в зависимости от энтузиазма и грамотности исследователя. Центральное место в прикладной математике занимают две проблемы: идеализации — перевода реалий в абстракции, и интерпретации — перевода абстрактных результатов и выводов, полученных с помощью математических моделей, на язык реальности. При решении этих проблем нередко возникают коллизии и неприятности. Поэтому прикладную математику часто называют наукой о правильном решении неправильно поставленных задач. Более того, иные, то есть правильно поставленные задачи в сферу деятельности математиков-прикладников, как правило, не попадают, поскольку уже в самой своей постановке содержат 80% своего решения. А что же им остается? Есть два пути. Продолжать водить самих себя за нос, пытаясь прикладывать математические знания для решения неправильно поставленных практических задач. Подружиться с системными аналитиками и совместными усилиями пытаться правильно формулировать и конструктивно решить математические задачи. Второй путь — предпочтительнее.
Таким образом, математика всегда выступала и, по-видимому, еще долго будет выступать в двух ипостасях. С одной стороны, как относительно независимая самостоятельно развивающаяся символьная система, в рамках которой формулируются аксиомы, доказываются теоремы, изыскиваются методы исчисления, делаются великие и не очень великие открытия. И, с другой стороны, как инструмент для создания символьных моделей наблюдаемых реалий, позволяющих специалистам различных отраслей знания проводить на этих моделях вычислительные эксперименты и получать оценки, дающие основания принимать те или иные решения по управлению реалиями.
Основоположником ныне действующего инструментально-прикладного взгляда на математику, а следовательно, и современного математического подхода к науке является Готфрид Вильгельм Лейбниц, который совместно с Исааком Ньютоном создал теорию интегро-дифференциального исчисления. При создании этой теории Лейбниц исходил из того, что мы живем в лучшем из миров, в котором доминируют гармония, устойчивость и непрерывность. Он полагал, что Бог не мог поступить иначе, создавая наш мир. Ведь он само совершенство и все его деяния безупречны. Соответственно этому Лейбниц сформулировал базовые аксиомы, которые сам же и положил в основу теории интегро-дифференциального исчисления. Первая аксиома гласит: «Все подчиняется экстремальным принципам лишь потому, что мы с вами живем в лучшем из миров». Под экстремальностью он понимал возможность найти в любой реальной проблемной ситуации наилучший или наихудший варианты ее разрешения, то есть ответить на вопрос: «Что такое хорошо и что такое плохо?» и отыскать такой способ действия, который позволит достичь этого хорошего или плохого. Вторая аксиома: «Все во вселенной находится в такой связи, что настоящее всегда скрывает в своих недрах будущее, и всякое данное состояние объяснимо естественным образом только из непосредственно предшествовавшего ему».
Несмотря на то, что реальный мир оказался совсем не таким, как предполагал Лейбниц (протекающие в нем процессы по большей части оказались разрывными, необратимыми, скачкообразными и ветвящимися), интегро-дифференциальное исчисление до сих пор остается ведущим методом в арсенале математической науки.
В середине XX века произошло событие, потрясшее ученый мир — на свет появилась новая математика, которая, казалось бы, подрывает саму ее основу — точность. Ведь недаром те науки, в которых доминирует математика, именуют точными науками. Назвали эту математику — «нечеткая». В отличие от классической математики, построенной на дихотомии (от греч. dichotomia — разделение надвое), в этой математике каждый элемент может либо принадлежать некоторому множеству, либо не принадлежать ему. Другими словами, в нечеткой математике дихотомия отсутствует. Вместо нее принадлежность элемента какому-либо множеству задается функцией принадлежности, которая может выражаться как числами из интервала [0,1], так и в виде лингвистических переменных, то есть переменных, значениями которых выступают не числа, а слова и словосочетания. Например, лингвистическая переменная <рост человека>, имеющая значениями: «очень высокий», «выше среднего», «средний», «ниже среднего», «низкий», может иметь такую функцию принадлежности: «часто», «редко», «никогда». Тогда, множество людей в некотором городе «N» с точки зрения их роста может быть охарактеризовано записью: «очень высокий»/«никогда»; «выше среднего»/ «редко»; «средний»/ «часто»; «ниже среднего»/ «редко»; «низкий»/ «никогда», которая читается так: «в городе «N» проживают люди в основном среднего роста, иногда встречаются люди выше или ниже среднего роста, и нет людей очень низкого и очень высокого роста». Таким образом, нечеткая математика представляет собой естественное расширение классической математики в направлении приближения математических понятий и выводов к реальным понятиям и схемам рассуждений, которыми пользуются люди в своей повседневной практике. В настоящее время наблюдается интенсивное развитие этой математики. Начали этот процесс японцы. Используя новые математические технологии (названные фаззи-технологиями), они сконструировали стиральные машины, которые сами определяли степень загрязненности белья, его объем, качество, и безошибочно выбирали наиболее экономичный режим. Создали видеокамеры с автоматической фокусировкой, умные кондиционеры и пылесосы, микроволновые печи и телевизоры. Затем за дело взялись банкиры. Нечеткая экспертная система приносит Фудзи-банку более 700 000$ в месяц чистого дохода. Ну, а последними оказались американские чиновники, которые запретили к вывозу все, связанное с фаззи-технологиями. И даже когда на рынки восточной Европы хлынули многопроцессорные компьютеры, содержащие самую простенькую программу с нечеткой математикой, на их упаковке красовалась наклейка «Запрещено к вывозу из США».
Упомянем еще об одном чрезвычайно важном и интересном разделе математики — булевой алгебре. Её основателем по праву считается англичанин Джордж Буль. Тот самый Буль, родная дочь которого Элеонора вначале служила гувернанткой в имении Веневитиновых, что в деревне Новоживотинное под Воронежем, а затем вернулась на родину, где примкнула к революционным деятелям и написала известный роман «Овод». Буль не успел наставить её на математический путь (он умер, когда ей было полтора года). Это — плохо, но хорошо то, что он успел изобрести замечательную алгебру, ставшую «душой» всех современных компьютеров, и названной впоследствии его именем.
На математику можно смотреть и как на многоуровневую языковую систему, с помощью которой специалисты различного профиля описывают изучаемые реалии и общаются между собой, не прибегая к переводчикам и словарям. Прилагательное «многоуровневая» означает, что в структуре математического языка существуют уровни его устройства, а именно: скалярный, векторный, матричный и тензорный. В таком характере построения математики фиксируется история ее развития. Каждый отдельно взятый уровень — это след какого-либо важного этапа в развитии математики, интегральная «память» о тех многочисленных превращениях, которые происходили с ней в ее многовековой истории. При этом каждый нижестоящий уровень фактически является частным случаем и зародышем вышестоящего уровня. Скалярный уровень образуют те математические дисциплины, с которых она собственно и начиналась: арифметика,
