На примере иррациональных чисел

Я не помню наизусть все доказательства математики. Так что иной раз тянет подумать с нуля. Сейчас покажу как доказывается (мое)) утверждение о существовании иррациональных чисел. Может вам понравится.

Начинаем с натуральных чисел - 0, 1, 2, 3... яблока - все ясно.

Продолжаем рациональными числами - заполнять пространства между натуральными, например, между 10 и 11.
- берем 11 яблок, 10 в сторону, а 11-е режем на N кусочков
- затем добавляем к 10 яблокам 1 кусочек, еще один, еще... т.е. шагаем от 10 к 11 манюсенькими шажками 1/N
- т.е. натуральные и между ними можно записать как M/N где M, N натуральные

Вроде так можно сколь угодно точно заполнить всю числовую ось. С какого бодуна вдруг появляются какие-то иррациональные числа?

Например, с такого.
Берем треугольник с прямым углом и равными катетами (по 1). Тогда Пифагор говорит, что концы катетов будут соединены гипотенузой, квадрат которой есть 2. А какое число будет не квадрат, а сама гипотенуза?

Допустим, что какое-то, рациональное, т.е. имеет вид m/n.
Тогда квадрат есть (m*m)/(n*n).
Тогда должно быть (m*m) = 2*(n*n).

И что страшного?
А вот что. Любое натуральное имеет последнюю цифру. И при умножении будет новое натуральное с новой последней цифрой, умножение на 2 добавочно ее изменит
0 - 0 - 0
1 - 1 - 2
2 - 4 - 8
3 - 9 - 8
4 - 6 - 2 (4 на 4 = 16, 6 на 2 = 12)
5 - 5 - 0
6 - 6 - 2
7 - 9 - 8
8 - 4 - 8
9 - 1 - 2

Т.е. 3-й наш столбец (от  2*(n*n))  должен давать что-то из 2-ого столбца  (от (m*m) )
Так вот хрен, нет во втором столбце ни 2, ни 8 - есть только 0!!!

А 0 не годится!
В ( m*m)  он может быть только при условии, что само m заканчивается на 0, т.е. делится на 10
В 2*(n*n)  он может быть при двух условиях: n заканчивается на 0 либо n заканчивается на 5
- если n заканчивается на 0, то делится на 10,  тогда сокращаем в дроби m/n  на 10 пока не исчезнет где-то 0 на последнем месте
- если n заканчивается на 5, то делится на 5, и m  тоже делится, тогда сокращаем в дроби m/n на 5 пока не исчезнет или 0 в  m, или 5 в n.

Но гипотенуза реально существует, вот она, видно, что длиннее 1 и меньше 2. Но не задать ее нашими разрезаниями яблока, сколько угодно близко будем подкрадываться, но в точку не попадем. Лафа с яблоками заканчивается на иррациональных числах. И начинается настоящая Наука - входя в которую нужно оставить на пороге все попытки как-то понять через привычное что-то житейское.