Возведение в квадрат других чисел требует более сложных правил в получении ответов. В качестве примера представляю таблицы возведения чисел (от 41 до 49) и (от 91 до 99):
№ 1 № 2
В таблицах № 1 и 2 красным цветом показан алгоритм возведения в квадрат чисел, которые заканчиваются числом 5. К ним привязаны все другие вычисления.
Например, в таблице № 1 базовым является число 20. С ним связаны все остальные решения. Выберем два примера:
1. 43 х 43 – 1849. Решение: 45 – 43 = 2; 20 – 2 = 18; Числу 3 до десяти не хватает числа 7. 7 х 7 = 49. Ответ: 1849.
2. 48 х 48 = 2304. Решение: 8 – 5 = 3; 20 + 3 = 23; Числу 8 до десяти не хватает числа 2. 2 х 2 = 04. Ответ: 2304.
В таблице № 2 все решения привязаны к числу 95. В числах меньше 95 (от 94 до 91) к числу 8 прибавляем удвоенную вторую цифру этих чисел. Затем возводим в квадрат числа недостающие до 10. Например, числу два до десяти не хватает 8. В числах больше 95 (от 96 до 99) нужно к цифре 9 надо прибавить второе удвоенное число. А не достающее до десяти перемножить. Выберем два примера:
1. 93 х 93 = 8649. Решение: 8 + (3 + 3) = 86; 7 х 7 = 49. Ответ: 8649.
2. 99 х 99 = 9801. Решение: 9 + (9 + 9) = 98. От сложения дух девяток берётся только второе число 8. 1 х 1 = 01. Ответ: 9801.
Отдельно представляю возведение в квадрат чисел: 11 – 19; 21 – 29; 31 – 39. Их правила простые:
11 х 11 = 121. Решение: 11 + 1 = 12; к 12 присоединяем (1 х 1) = 121.
12 х 12 = 144. Решение: 12 + 2 = 14; к 14 присоединяем (2 х 2) = 144.
13 х 13 = 169. Решение: 13 + 3 = 16(3 х 3) = 169.
14 х 14 = 196. Решение: 14 + 4 + 1(6) = 196. 4 х 4 = 16. От 16 берём 1.
15 х 15 = 225. Решение: 15 + 5 + 2(5) = 225. От 25 берём 2.
16 х 16 = 256. Решение: 16 + 6 + 3(6) = 256.
17 х 17 = 289. Решение: 17 + 7 + 4(9) = 289.
18 х 18 = 324. Решение: 18 + 8 + 6(4) = 324.
19 х 19 = 361. Решение: 19 + 9 + 8(1) = 361. В каждом примере второе число возводится в квадрат.
При возведении в квадрат чисел (21 – 29) нужно каждое число сократить на 10 и умножить на 4. Вторую цифру в числе перемножить.
21 х 21 = 441. Решение: (21 – 10) х 4 = 44; 1 х 1 = 1. Ответ: 441.
22 х 22 = 484. Решение: (22 – 10) х 4 = 48; 2 х 2 = 4. Ответ: 484.
23 х 23 = 529. Решение: (23 – 10) х 4 = 52; 3 х 3 = 9. Ответ: 529.
24 х 24 = 576. Решение: (24 – 10) х 4 = 56 + 1(6); 4 х 4 = 16. Ответ: 576.
25 х 25 = 625. Решение: (25 – 10) х 4 = 60 + 2(5); 5 х 5 = 25. Ответ: 625.
26 х 26 = 676. Решение: (26 – 10) х 4 = 64 + 3(6). Ответ: 676.
27 х 27 = 729. Решение: (27 – 10) х 4 = 68 + 4(9). Ответ: 729.
28 х 28 = 784. Решение: (28 – 10) х 4 = 72 + 6(4). Ответ: 784.
29 х 29 = 841. Решение: (29 – 10) х 4 = 76 + 8(1). Ответ: 841.
При возведении в квадрат чисел (31 – 39) нужно каждое число умножить на 3. К результату прибавить (3 х на каждую вторую цифру чисел) и присоединить квадрат второго числа. Например, 33 х 33 = 1089.
Решение: 3 х 33 = 99 + (3 х 3) = 108. К этому числу присоединяем квадрат числа 3 или 9. Ответ: 1089.
31 х 31 = 961. Решение: 3 х 31 = 93 + (3 х 1) = 96 (1 х 1). Ответ: 961.
32 х 32 = 1024. Решение: 3 х 32 + 6(2 х 2) = 1024.
33 х 33 = 1089. Решение: 3 х 33 + 9(3 х 3) = 1089.
34 х 34 = 1156. Решение: 3 х 34 + 12 + 1(6) = 1156.
35 х 35 = 1225. Решение: 3 х 35 + 15 + 2(5) = 1225.
36 х 36 = 1296. Решение: 3 х 36 + 18 + 3(6) = 1296.
37 х 37 = 1369. Решение: 3 х 37 + 21 + 4(9) = 1369.
38 х 38 = 1444. Решение: 3 х 38 + 24 + 6(4) = 1444.
39 х 39 = 1521. Решение: 3 х 39 + 27 + 8(1) = 1521.
Возведение в квадрат чисел (61 – 69). Пример:
64 х 64 = 4096. Решение: 6 х 64 = 384; 4 х 6 = 24 + 1(6); 384 + 24 +1(6) = 4096. Остальные примеры решаются так же:
61 х 61 = 3721. Решение: 6 х 61 = 366 + (1 х 6)1 = 3721.
62 х 62 = 3844. Решение: 6 х 62 + 12(4) = 3844.
63 х 63 = 3969. Решение: 6 х 63 + 18(9) = 3969.
64 х 64 = 4096. Решение: 6 х 64 + 24 + 1(6) = 4096.
65 х 65 = 4225. Решение: 6 х 65 + 30 + 2(5) = 4225.
66 х 66 = 4356. Решение: 6 х 66 + 36 + 3(6) = 4356.
67 х 67 = 4489. Решение: 6 х 67 + 42 + 4(9) = 4489.
68 х 68 = 4624. Решение: 6 х 68 + 48 + 6(4) = 4624.
69 х 69 = 4761. Решение: 6 х 69 + 54 + 8(1) = 4761.
Возведение в квадрат чисел (81 – 89) решается таким же методом:
81 х 81 = 6561. Решение: 8 х 81 = 648 + (8 х1)1 = 6561.
82 х 82 = 6724. Решение: 8 х 82 + 16(4) = 6724.
83 х 83 = 6889. Решение: 8 х 83 + 24(9) = 6889.
84 х 84 = 7056. Решение: 8 х 84 + 32 + 1(6) = 7056.
85 х 85 = 7225. Решение: 8 х 85 + 40 + 2(5) = 7225.
86 х 86 = 7396. Решение: 8 х 86 + 48 + 3(6) = 7396.
87 х 87 = 7569. Решение: 8 х 87 + 56 + 4(9) = 7569.
88 х 88 = 7744. Решение: 8 х 88 + 64 + 6(4) = 7744.
89 х 89 = 7921. Решение: 8 х 89 + 72 + 8(1) = 7921.
Полное освоение всех таблиц квадратов чисел позволит легко перемножать другие двузначные числа, которые отличаются по количеству до 10 единиц или десятками. Примеры:
1. 32 х 42 = 1344. Решение: 32 х (42 – 10); 32 х 32 = 1024; 1024 + 320 = 1344.
2. 47 х 49 = 2303. Решение: 47 х (49 – 2); 47 х 47 = 2209; 2209 + 94 = 2303.
3. 46 х 76 = 3496. Решение: 46 х (76 - 30); 46 х 46 = 2116 + (30 х 46) = 3496.
4. 45 х 78 = 3510. Решение: (45 + 45) х 78; 90 х 78 = 7020:2 = 3510.
5. 180 х 78 =14040. Решение: (90 х 2) х 78; 90 х 78 = 7020 х 2 = 14040.
6. 450 х 438 = 197100. Решение: 2 х 450 = 900; 900 х 438 = 394200:2 = 197100.
Словесная математика
Любое число содержит в себе слово, которое можно превратить обратно в число. В древней Руси числа обозначали с помощью букв и применяли в системе счисления. Было установлено числовое соответствие большинства букв древнерусского алфавита.
Все выше представленные квадраты чисел я решал с помощью математических приёмов. Но существует методика мгновенного нахождения ответа при возведении в квадрат любых двузначных чисел. Их насчитывается 81 число. Не учитываются числа с нулём. Суть метода заключается в том, что каждое возведение в степень и его ответ будет заменено двумя или тремя логически связанными словами. Получится объединённая таблица, состоящая из словесных сочетаний. На практике я решил показать возведение в квадрат чисел (71 – 79) на основе словесной методики. Для этого нужно перевести десять чисел в буквы. Обычно при переводе используют первые буквы названий чисел:
1 – К (кол); 2 – Б (bi); 3 – Т; 4 – Ч; 5 – П; 6 – Ш; 7 – С; 8 – В; 9 – Д; 0 – Н.
Например, в слове светильник можно найти число 7830: С – 7, В – 8, Т– 3, Н– 0.
Таблица квадратов чисел (71 – 79):
1. 71 (сок) = 504 (пьянчуге); Предложение: Сок - пьянчуге.
2. 72 (сбежал) = 518 (повар);
3. 73 (старый) = 532 (Петербург);
4. 74 (семечки) = 547 (из пачки съел);
5. 75 = (7 х 8)25 = 5625;
6. 76 (сушил) = 577 (запас сухарей);
7. 77 (сыскал) = 592 (пуд хлеба);
8. 78 (свалка) = 608 (лишних вещей);
9. 79 (следы) = 624 (шли к бахче).
Примечание: последняя цифра в ответах отсутствует, так как легко вычисляется.
Все другие квадраты чисел, представленные выше в математических таблицах, можно превратить в слова по такой же схеме. Запомнить эту общую словесную таблицу не составит труда. По этому методу ответ каждого возведения в степень будет выдаваться за две секунды. Например: 87 х 87 (все) = 756(9) (спешили);
96 х 96 (душа) = 921(6) (дар Бога).
Мгновенный ответ можно выдать и при возведении двузначных чисел в более высокую степень. Примеры:
74 в четвёртой степени = 29986576. Или: 74 (семечки) = 2998657(6) (брал дед в шапку сухие); Ответ дополняет цифра 6.
56 в шестой степени = 30840979456.
Или: 56 (пришёл) = 3084097945(6) (и танцевал мичман, а дамам сидячим пел).
При умножении больших чисел устно, нужно удерживать в памяти значительное количество знаков. Замена их словами упрощает процесс вычисления. Запоминать словесные числа гораздо легче. Например, с помощью этого метода можно за одну минуту запомнить два числа из 12 знаков, а затем сложить их в уме с помощью двух, составленных из знаков предложений. Складывать или вычитать подобные тексты, заполненные числами, непростая задача, но с помощью тренировок можно научиться решать любые словесные примеры.
Можно опираться на слова и при запоминании таблицы умножения. В ней обычно учат не более 50 примеров. Каждый из них можно заменить двумя словами.
Например: 6 х 7 = 42. 6 х 7 (лишился) 42 (учёбы); 7 х 9 = 63 (суд решит); 8 х 7 = 56 (все пришли); 8 х 9 = 72 (вид Сибири) и так далее.
По этой методике всю таблицу умножения можно дополнительно подкрепить словами. Получится страховочное запоминание.
Эхо чисел
Существуют числа, которые при вычислениях вызывают у множителей свойства, похожие на эхо. Из физики известно, что это отражённый звук. Он берёт начало от источника и теряет свою энергию после повторного отражения. То же самое происходит с множителями, на которые перемножаются числа: 25,125, 625, 3125, 55, 555 и другие.
Примеры:
1. 25 х 94 = 2350. Решение: 50 х 94 = 4700:2 = 2350.
2. 25 х 87 = 2175. Решение: 50 х 87 = 4350:2 = 2175.
3. 35 х 48 = 1680. Решение: 70 х 48 = 3360:2 = 1680.
4. 125 х 42 = 5250. Решение: 5 х 42 = (210 + 210 + 105) х 10 = 5250. В этом примере начинается деление чисел на 2.
5. 125 х 53 = 6625.
Решение: 125 х (53 – 1); 5 х 52 = (260 + 260 +130) х 10 + (1 х 125) = 6625.
6. 625 х 86 = 53750. Решение: (625:5) х 86; 125 х 86 = 10750; 5 х 86 = 430 + 430 + 215 = 1075 х 50 = 53750.
7. 125 х 846 = 105760. Решение: 5 х 846 = (4230 + 4230 + 2115) х 10 = 105750.
8. 55 х 43 = 2365. Решение: 5 х 43 = 215 + 20 + 1(5) = 2365.
9. Второй вариант: 55 х 43 = 2365.
Решение: (55 х 2) х 43 = 110 х 43 = 4(4+3)30 = 4730:2 = 2365.
10. 555 х 84 = 46620. Решение: 5 х 84 = 420 + 42 + 4 = 466(5 х4) = 46620.
В этом примере три пятёрки создали из множителя 84 числовое эхо:
420 – 42 – 4 – 0, или угасающее число 420.
11. 555 х148 = 82140. Решение: 5 х 148 = 740 + 74 + 7(40) = 82140.
12. 555 х 842 = 467310. Решение: 5 х 842 = 4210 + 421 + 42(10) = 467310.
13. 5555 х 862 = 4788410. Решение: (5555 – 5) х 862 = 5550 х 862 = 4784100;
5 х 862 = 4310 + 431 + 43(100) = 4784100 + (5 х 862) = 47 88 410.
14. 3125 х 846 = 2643750. Решение: 5 х 846 = 4230 + 4230 + 2115 = 10750;
3000 х 846 = 2538000 + 10750 = 2643750.
Эти вычисления можно продолжать и дальше. Все они будут решаться по правилам, которые применялись к представленным выше числам. Но могут быть и другие неизвестные варианты решений. Мир чисел таит в себе немало скрытых свойств и загадок. Они пока не все исследованы, как та загадочная звезда, о которой мы знаем только по частице её света.
Автор Владимир Кондряков