Современные исследования методами ФРТ показали, что при обработке математических абстракций (чисел, векторов, топологических пространств) активируются те же зоны коры (включая теменные и префронтальные области), которые отвечают за пространственное мышление, распознавание образов и синтаксис сложного языка.
Формула E=mc² для кошки — это набор пятен. Для человека без образования — загадочный значок с футболки. Для физика — сжатый контекст, за которым стоит колоссальная ментальная модель: пространство-время, релятивистская масса, скорость света и законы сохранения. Без предварительно загруженной в мозг «библиотеки смыслов» математический символ мертв.
Наука (физика, химия, биология) изучает объективную реальность методом эксперимента. Она ищет ответы на вопрос «Как устроен мир?».
Математика не изучает мир. Она предоставляет строгий синтаксис, который защищен от главной проблемы человеческого языка — амбивалентности и двусмысленности.
Математический язык искусственно сужен. Математики договорились очистить свои символы от эмоций и субъективных трактовок. Знак «+» или символ матрицы имеют жестко зафиксированное, однозначное значение в рамках конкретной модели.
Математика — это язык с предельно строгими правилами грамматики (логики), созданный для того, чтобы ученые могли передавать друг другу сложные многомерные модели без искажений, «потери пакетов» и трудностей перевода.
Представление некоторых математиков о том, что их наука — это самостоятельная сущность (платоновский мир чистых форм), — это профессиональная деформация, возникшая как раз из-за высокой степени изоляции этого языка. Когда человек всю жизнь общается на языке с абсолютной внутренней строгостью, у него возникает иллюзия, что эта строгость принадлежит самой Вселенной. Но это иллюзия.
Если математика — это язык для описания моделей реальности, то создание языковых конструкций, которые в принципе невозможно привязать ни к какому контексту и ни к какой модели, — это просто изобретение бессмысленных слов в несуществующем словаре.
Ограничения математики
У каждого способа формального описания есть свои особенности, которые в попытках описания разных явлений подходят лучше или хуже других.
Примеры, где математика сталкивается с ограничениями или теряет практический смысл:
Сложные открытые системы (экономика и биология)
Попытка вывести математическую формулу для описания телевизора, рынка или поведения экосистемы неэффективна. В таких системах множество переменных и обратных связей. В результате строгие уравнения быстро становятся неадекватными, уступая место компьютерному симулированию и статистическому анализу.
Психология, искусство и человеческое сознание
Субъективные переживания, творчество и эстетическое восприятие невозможно описать уравнениями. Попытки математизировать искусство (например, «формула идеальной картины») лишены смысла, так как критерии оценки формируются культурой, а не числами.
Задача трех тел (и теория хаоса)
В то время как задача двух тел имеет точное математическое решение, добавление всего лишь третьего гравитирующего объекта делает общую систему хотя и детерминированной, но математически хаотичной. Вычислить траектории аналитически (в виде формул) невозможно, и приходится использовать численные методы.
Но если мы создадим простенькую компьютерную программу, которая будет высчитывать положение каждого тела, исходя из существующих взаимных расположений, то она легко и беззаботно покажет развитие динамики взаимодействий.
Если мы напишем программу, которая обсчитывает кинетически энергии в молекулах воды при их столкновениях с неких начальных условий, то ограничившись чайником, чтобы хватило вычислительных ресурсов, мы смоделируем погоду в чайнике. Для погоды на земле придется оперировать уже большими сущностями облаков, ветра, влажности и т.п. что даст некую долговременную погрешность. Но никакой математической формулой это сделать не получиться.
В какой-то мере может помочь математическая модель.
Формула (Аналитическое решение) — это статичный математический текст, свернутый в инвариант.
Суть: Это попытка прыгнуть из времени t[sub]0[/sub] сразу во время t[sub]100[/sub] в один шаг, минуя все промежуточные состояния. Вы подставляете в уравнение t=100, и формула выдает готовый результат.
Ограничение: Формула требует полной изоляции и линейности. Как только появляется взаимное влияние (обратная связь, как в задаче трех тел), где шаг В зависит от шага А, а шаг А тут же меняется от шага В, аналитический «прыжок через время» становится невозможным. Природа не считает формулами, она не прыгает в будущее — она проживает каждый миг.
Модель (В данном контексте — алгоритмическая/численная модель) — это динамический процесс, имитирующий причинно-следственные связи реальности шаг за шагом.
Суть: Компьютерная программа не пытается угадать будущее. Она берет микроскопический шаг времени ∆[sub]t[/sub], вычисляет мгновенные силы для этой точки, двигает тела на миллиметр, а на следующем шаге повторяет всё заново, используя уже новые координаты.
Преимущество: Модель повторяет саму природу — она разворачивает контекст во времени. Ей плевать на математический хаос и отсутствие формул, потому что она не решает глобальное уравнение, а последовательно воспроизводит физические взаимодействия «здесь и сейчас».
Какие ограничения у модели?
Если модель так легко и беззаботно обсчитывает то, перед чем пасуют формулы, почему мы не можем идеально предсказать погоду или поведение вселенной? У моделей есть три фундаментальных ограничения:
1. Проклятие дискретизации (Ограничение шага)
Компьютер считает пошагово. Время в программе течет не плавно, а квантами ∆[sub]t[/sub].
- Если в вашей модели чайника две молекулы летят навстречу друг другу, а шаг времени слишком велик, на шаге N они еще не долетели друг до друга, а на шаге N=1 уже «пролетели» сквозь друг друга.
- Чтобы модель была точной, шаг нужно уменьшать до бесконечности. Но тогда для расчета одной секунды реального времени компьютеру потребуются миллиарды лет вычислений. Мы всегда вынуждены округлять непрерывный мир до дискретных кубиков.
Невозможно обсчитать погоду на Земле по молекулам воды — не хватит никаких ресурсов. Приходится укрупнять сущности: склеивать триллионы молекул в один абстрактный объект «облако» или «циклон».
- Как только мы это делаем, мы вводим усредненные параметры (например, среднюю влажность или среднее давление).
- Но реальные физические микро-процессы на границах этого облака никуда не исчезают. Мы их просто игнорируем ради экономии ресурсов, сознательно внося погрешность в саму суть модели.
В нелинейных системах (где есть обратная связь) микроскопическая ошибка на входе лавинообразно нарастает со временем.
- Округлив в компьютере положение молекулы или координату планеты до 15-го знака после запятой (а память компьютера всегда ограничена), вы создаете крошечную погрешность.
- На первом шаге она ничтожна. На сотом — незаметна. На миллионном шаге эта мизерная неточность полностью меняет траекторию системы. Модель «погоды» начнет показывать солнечный день там, где в реальности пойдет ливень.
Модель — это алгоритмический аналог реальности. Она способна описывать хаос и жизнь, но её главное ограничение — это ресурсный компромисс. Мы всегда вынуждены выбирать: либо мы моделируем крошечный кусочек мира (чайник) с высокой точностью, либо весь мир (погоду на Земле), но грубыми, усредненными мазками.
Если мы вернемся к нашей метафоре математики как языка: формула — это попытка выразить сюжет всей книги одним емким словом, а модель — это последовательное чтение книги страница за страницей.
Любая математическая модель в нашей реальности мертва и статична, пока нет интерпретатора, который превращает её формулы в динамический процесс. Формула на бумаге сама по себе ничего не вычисляет и никуда не движется. Чтобы модель «ожила», нужен сторонний агент, который будет последовательно брать значения, изменять их по правилам формул и перезаписывать в память.
Роль такого интерпретатора всегда выполняет материальный носитель, например, компьютер со специализированной программой или человеческий мозг.
Поэтому модели – это вторичное использование математики и не относится к самой математики.
Сама по себе математика — это просто замкнутый свод правил синтаксиса. Это правила о том, как знаки могут сочетаться друг с другом, чтобы не возникало внутренних противоречий.
Математика предоставляет «буквы» (числа, переменные) и «правила построения предложений» (операции, логические выводы).
Ей самой по себе не важно, что именно вы будете писать с помощью этого языка. Ей безразличны чайники, погода, планеты или экономика.
Когда ученый или инженер создает модель, он выступает в роли писателя. Он берет готовый математический язык и пишет на нем «рассказ» о конкретном физическом процессе.
Объявлять моделирование частью математики — это то же самое, что объявлять роман «Война и мир» частью науки о русском языке (лингвистики).
Миф: если теория не имеет математической формализации – она не теория
Формализация сама по себе ничего не доказывает, а лишь описывает, создает модель, которую можно рассматривать на предмет противоречий и ошибок.
Вера в то, что облечение мысли в формулы автоматически делает её «научной теорией» — это глубокое заблуждение (сциентизм), уходящее корнями в преклонение перед строгим языком математики.
Действительно, формализация лишь переводит утверждение на язык с жестким синтаксисом, чтобы модель было проще проверить на внутреннюю непротиворечивость. Но если в основание модели заложена ложная посылка, то даже самая красивая и сложная математика лишь филигранно опишет эту ложь. Сама по себе формула ничего не доказывает и не гарантирует связи с реальностью.
Фундаментальная проблема доказательств в математике
Если математика — это замкнутый язык описания, то как она доказывает что-либо внутри себя? И здесь скрывается глубочайший кризис, который математика пережила в XX веке и из которого не
Постулат: русский человек Сырский есть украинский человек. Но система очень даже живая, каждый день доказывает свое бытие.