выбралась до сих пор.
Три кита кризиса математических доказательств
1. Теорема Гёделя о неполноте (Приговор абсолютной строгости)
В 1931 году Курт Гёдель математически доказал, что любая достаточно сложная и непротиворечивая формальная система (например, обычная арифметика) принципиально неполна.
Внутри этой системы всегда найдутся утверждения, которые являются истинными, но их невозможно доказать или опровергнуть правилами самой этой системы. Вы не можете доказать непротиворечивость математики средствами самой математики. Чтобы доказать истинность системы A, вам нужна более широкая система B, для доказательства B нужна система C — и так до бесконечности. Абсолютное, самодостаточное математическое доказательство оказалось мифом.
2. Проблема субъективности «проверки» (Человеческий фактор)
Математическое доказательство — это не вещь в себе. Это текст, написанный на математическом языке, который должен прочесть и верифицировать другой человек (или группа экспертов).
Доказательство Великой теоремы Ферма, сделанное Эндрю Уайлсом, занимало около 130 страниц сложнейшего текста. Ведущие математики мира проверяли его несколько месяцев и сначала нашли ошибку. Уайлсу потребовался еще год, чтобы её исправить.
Если доказательство состоит из тысяч страниц, ни один человек в мире не может гарантировать, что на странице 417 не закралась микроскопическая логическая подмена, которая рушит всё здание. Доказательство в математике — это социальный акт признания экспертным сообществом, а не абсолютная истина.
3. Кризис компьютерных доказательств (Проблема интерпретатора)
Сегодня многие сложные теоремы (например, теорема о четырёх красках или классификация простых конечных групп) доказываются с помощью компьютеров. Программа перебирает миллионы вариантов, которые человек не способен проверить физически за всю жизнь.
Математики вынуждены верить на слово компьютеру (интерпретатору). Но как проверить, что в самом коде программы-верификатора нет бага? Или что в кремниевом процессоре во время миллиардного вычисления не произошло случайного сбоя транзистора из-за космического луча? Мы заменили веру в человеческую безошибочность верой в безошибочность машины.
Что же такое «теория»?
Теория становится теорией не тогда, когда она покрывается формулами. Теория — это обоснованная модель понимания причинно-следственных связей. Если выявлены свойства всех компонентов, участвующих во взаимодействии в данном явлении и удалось сделать модель, позволяющую оперировать этими компонентами, чтобы сделать очевидным и исследовать взаимное влияние, то появляется возможность верифицировать полноту и верность такой модели, независимо от того, какой язык описания был использован.
Математическое описание имеет свои ограничение, схемотехнические – другие, а программно-алгоритмические – третью. Модель велосипеда или телевизора лучше описывается схемотехнически, модели нескольких гравирующих тел – программно. Очень странно и глупо пытаться описать телевизор математически.
В результате, действующая модель (прототип) на подходящем формальном языке доказывает верность понимания явления.
Теория — это действующая модель понимания, доказавшая свою верность через адекватный её сути формальный язык.
Математика — это не монополист на истину, а всего лишь один из инструментов в ящике.
Критерий адекватности языка описания
Когда выявлены свойства всех компонентов, участвующих в явлении, и создана модель на адекватном языке, происходит главное — модель начинает работать. Это значит, что в системе взаимодействий заполнены все места участников, нет пробелов, требующих выявление новых участников. И сразу видно, насколько верно каждый участник занимает свое место. Например, в таблице элементов Менделеева или системе индивидуальной адаптивности. Тогда модель – это такой пазл, которые, собирается из известных компонентов и если принцип образования системы выбран верно, то сразу становится видно, чего пока не хватает, мало того, видно, какими свойствами должен обладать пока не найденный компонент.
Труднее всего бывает обнаружить тот самый принцип общей системы. Менделеев мучительно долго искал его много лет, пока внезапное озарение во сне не подсказало нужную ассоциацию и пазл сразу стал очевидно понятным.
Главная ловушка исследователя — зависимость от текущего уровня абстракции. Пока Менделеев пытался группировать элементы по изолированным свойствам (только по валентности или только по металлоидности), система рассыпалась. Компоненты конфликтовали друг с другом.
Системный принцип — это всегда выход на уровень выше. Нужно было найти один сквозной, фундаментальный инвариант (в его случае — непрерывный рост атомного веса), вокруг которого все остальные локальные свойства (валентность, плотность, цвет) начали циклически вращаться.
Как только этот инвариант найден, хаос превращается в космос. Модель оживает, и пробелы становятся очевидными.
Так ли уж бесполезны свободные абстракции?
История науки показывает, что польза "бесполезных" абстракций проявляется через десятилетия, а иногда и века. Теория групп была чистой абстракцией в XIX веке, а стала фундаментом физики элементарных частиц и кристаллографии. Неевклидова геометрия Лобачевского считалась "игрой ума", пока Эйнштейн не использовал ее для ОТО. Мнимые числа (которые автор упоминает) тоже ждали своего часа несколько веков.
Требование немедленной практической пользы или немедленной привязки к материи — это необоснованный прагматизм. Математика часто работает "на вырост".
Леонардо Да Винчи, чтобы подтолкнуть мысль, подолгу смотрел на узоры штукатурки и, в самом деле, это помогало ему находить аналогии, благодаря чему возникали новые идеи. Но этих идей не было в штукатурке, так же как их нет в математических формулах. Механизм доминанты нерешенной проблемы и пассивного режима мышления позволяет образовывать новые идеи на основе любой аналогии - за счет уже имеющегося опыта.
Опираясь на этот довод, предоставляю возможность показать неверность утверждения, что математика рождает новые представления на примере:
Из уравнений Максвелла дедуктивно следовало существование электромагнитных волн, о которых Максвелл в момент написания уравнений мог и не подозревать в виде образа. Получается, что математика родила новый смысл (радиоволны) чисто формальным путем, еще до того, как их обнаружили экспериментально.
На самом деле пример с уравнениями Максвелла не опровергает, а идеально подтверждает тезис о первичности понимания и вторичности формул. Представьте, что мы дали уравнения Максвелла талантливому математику из XVIII века, который ничего не знает об электричестве, магнетизме и опытах Фарадея. Он просто видит систему дифференциальных уравнений.
Сможет ли он «дедуктивно» извлечь из них существование радиоволн?
Он увидит, что есть оператор Лапласа и вторая производная по времени.
Он скажет: «Да, это волновое уравнение, оно описывает распространение возмущений в некоторой гипотетической среде».
И спросит: «Что такое E и B? Какая упругая среда колеблется? Где взять антенну?»
Без внешнего знания (что E — это электрическое поле, которое можно создать током, а B — магнитное, которое индуцируется) математик НЕ сможет родить радиоволны. Для него это будет абстрактная функция двух переменных, которая осциллирует. Он не отличит её от уравнения звука в трубе или колебаний струны.
Следовательно, формула не родила радиоволны. Радиоволны родились из физического образа «колеблющегося эфира» (пусть и ошибочного), который Максвелл привнес вне математики.
Сначала понимание, и только потом - формализация
Существует убеждение, что математика является инструментом нахождения новых истин, что с помощью создания новых математических конструкций возможно найти решение фундаментальных и менее сложных проблем. Что само жонглирование формулами – это путь познания.
Это опасное переворачивание научной методологии. Формула не может родить смысл, которого изначально не было в голове исследователя. Математика — это не компас, указывающий дорогу в неизведанное, а дорожный каток, который асфальтирует уже протоптанную мыслью тропу.
Попытка найти истину через модификации математических конструкций напоминает попытку написать гениальный роман, комбинируя слова по правилам грамматики. Формальный язык оперирует только знаками. Ему безразлично, что скрывается за переменной x — масса планеты, цена акции или фантастическая галлюцинация. На бумаге можно построить безупречную, непротиворечивую модель 11-мерного пространства со скрученными суперструнами. Математически она будет идеальна. Но если этот конструкт изначально не опирается на физическое понимание природы, он так и останется красивым набором букв, не имеющим отношения к реальности. Это и есть «галлюцинация ради галлюцинации».
Все великие открытия в науке совершались через первичное, почти интуитивное или образное понимание причинно-следственных связей, и лишь затем переводились на язык формул.
Альберт Эйнштейн: Он создал Общую теорию относительности не потому, что играл с тензорным исчислением. Сначала в его голове возник чистый физический образ: человек, падающий с крыши, не чувствует своего веса, а тяжелый шар на батуте продавливает ткань. Он понял суть гравитации как геометрии пространства. И только потом он потратил годы, мучительно ища подходящий математический аппарат (риманову геометрию), чтобы строго записать это понимание. Если бы у него не было первичного образа, никакие формулы не подсказали бы ему, что пространство искривлено.
Исаак Ньютон: Сначала было понимание того, что сила, бросающая яблоко на землю, и сила, удерживающая Луну на орбите — это одно и то же взаимодействие. Чтобы формализовать это понимание динамики, существующей математики его времени просто не хватило. Ему пришлось придумать дифференциальное исчисление как новый язык, чтобы описать уже понятый им физический процесс.
Анри Пуанкаре — великий французский математик, физик и философ науки — был главным и самым яростным защитником позиции “Сначала понимание, и только потом - формализация” в начале XX века. Он вел непримиримую интеллектуальную войну против логицистов (Бертрана Рассела, Давида Гильберта), которые пытались свести математику к формальным манипуляциям и оторвать её от человеческого понимания.
В своих фундаментальных трудах «Наука и метод» и «Ценность науки» Пуанкаре писал вещи, которые практически дословно совпадают с выстроенной методологией.
1. Логика — инструмент доказательства, Интуиция — инструмент познания
Пуанкаре принадлежат две хрестоматийные цитаты, которые разделяют саму суть понимания и формы:
«Логика и интуиция играют каждая свою необходимую роль. Логика доказывает, но интуиция открывает».
«Чистая логика всегда приводила бы нас только к тавтологии; она не могла бы создать ничего нового; сама по себе она не может дать начало никакой науке».
Он утверждал, что если мы просто двигаемся по правилам формального
Постулат: русский человек Сырский есть украинский человек. Но система очень даже живая, каждый день доказывает свое бытие.