Решение теоремы Ферма для четных степеней

   
                ПОСЛЕСЛОВИЕ – ИЗ КНИГИ «ПУТЬ В НЕБО»

При переносе материала в Стихи. ру чертеж исчез (он наверху), а степени п и 2п - стали выглядеть как множители. Это надо учесть.

  Оно для тех, кто интересуется Великой теоремой Ферма. Её пытался решить почти каждый математик. Но элементарное решение найдено не было. Я нашел его в 1978 году, но привел только в 2012 году в книге «Путь в Небо» (она с ISBN – это сохраняет приоритет), так как не хотел огорчать ферматистов, тех, кто неустанно ищет решение – их многие тысячи по всему миру.
Теперь о теореме.
  В 1636 году Пьер Ферма заявил, что уравнение: X^n + Y^n = Z^n не имеет решения в целых числах, при показателе степени n > 2. (здесь п - означает степень). Это заявление назвали большой теоремой Ферма. Большая суматоха возникла из-за  записи: «Я располагаю поразительным (поистине удивительным) доказательством, но оно слишком велико, чтобы разместить на полях книги». Имеется в виду «Арифметика» Диофанта, на полях которой была сформулирована теорема.
  Без малого четыре века многие, в том числе великие математики, пытались найти это доказательство, но безуспешно. Назначались крупные премии. Ферматисты не верят Эндрю Уайлсу, который, якобы, нашел в 1995 году решение теоремы сложнейшими вычислениями на 130 страниц. Там находили ошибки, делали правки, и есть большое сомнение в верности. Известный российский математик - академик В. И. Арнольд заявил: - Это не настоящая математика – она должна быть геометрична, связана с физикой, а в доказательстве Эндрю Уайлса нет смысла.
  Но я допускаю, что задачу Эндрю решил. Но это сверхсложный путь, возможно, весьма полезный для математики в общем, но ведь искали элементарное решение, сделанное Пьером Ферма. Многие считают, что и Ферма ошибся – что теорему элементарным способом решить невозможно.
  Мне приснился сон, в котором я встретился с самим Пьером Ферма, и расспросил его о теореме.
Он сказал, что у него было озарение - что теорема имеет элементарное решение…
   Получив своеобразный толчок (тут вспомнился сон Менделеева), я начал поиск доказательства элементарным способом и нашел в 1978 году, но никому не показывал по вышеуказанной причине. В его основе  геометрический метод, понятный даже школьнику средних классов, а не бесконечные вычисления. Я поставил себя на место Пьера Ферма, которому, конечно, не были известны достижения современного раздела математики «Теория чисел».
  В математике ценится красота и умение чувствовать её. К тому же, как сказал один неглупый человек - математик подобен кошке, играющей собственным хвостом.
   В моем решении есть «удивительный момент», о котором писал Ферма. Не зря же Эйнштейн говорил, что математика удивительна - это наиболее совершенный способ водить самого себя за нос. Что и делали математики всего мира, без малого четыре века. Теперь само доказательство – в начале для уравнения в четных степенях:

   Допустим, что в формуле Ферма выполняется равенство: Х^2n + Y^2n = Z^2n при любых n. Назовем это равенство (Ф).  (Здесь 2п обозначает степень).
  Наша задача доказать, что это невозможно, исключая случаи, когда члены равенства во второй степени.
   Если в (Ф) есть общие для всех его членов сомножители, то их сократим. Тогда уравнение (Ф) можно представить в 2 вариантах:
1. Как сумму нечетного и четного числа, в левой стороне уравнения и нечетного – в правой стороне.
2. Как сумму 2 нечетных чисел, в левой стороне уравнения и четного числа – в правой стороне уравнения.  Но этот (второй) случай исключаем, так как сумма двух нечетных чисел в степени 2n всегда равна нечетному числу, умноженному на два - и рассматриваться не может.
Поэтому рассматривается только первый вариант.
Задача решается так.
  Рисуем больший нечетный квадрат равный Z^2n  - назовем его (3), а внутри врисуем меньший нечетный квадрат равный X^2n - назовем его (1) - и совместим его с нижним левым углом квадрата (3).
   Вся оставшаяся незанятой площадь квадрата (3) будет равна четному квадрату Y^2n – назовем (2), - это заштрихованная площадь на рис. 1. Совместим (2) с правым верхним углом квадрата (3). Оставшаяся незанятой площадь квадрата (3) будет равна площади нечетного квадрата (1). Это заштрихованная площадь на втором рисунке. (Обязательное условие: нечетный и четный квадрат внутри третьего квадрата должны быть так соразмерны, чтобы зона их пересечения была ровна сумме двух незанятых, равных между собой участков).
   Теперь совместим рисунки, частично наложив один на другой. Это рис.3. Внутри квадрата (3), при частичном наложении квадратов (1) и (2) друг на друга, образуется квадрат (4).
   Именно при помощи этого квадрата решаем проблему.
Квадрат (4) четен, так как равен сумме (5) и (6) – равных между собой. Если (5) и (6) равны половине (4), то они являются прямоугольниками. Одна их сторона (по рисунку) четна, другая нечетна. В таком случае (4) делится на четыре нечетных (7), а в (5) и (6) их будет по два. Это видно из рис. 4.

1) В этом случае можем проецировать (7) на все поле квадрата (3). Это рис. 4.
2) Теперь главное: площадь квадратика (7) становится общим сомножителем для всех членов (Ф), но, по условию, у него нет общих сомножителей (кроме 1), - все они сокращены. Это значит, что площадь и сторона (7) = 1.


Здесь должен был быть рисунок, который наверху.


















Уверен, что великий Ландау здесь сказал бы:
- Без дополнительных пояснений ясно, что равенство (Ф) выполняется только во второй степени, а не в больших степенях. Ведь в итоге мы пришли к элементарному равенству: 3^2 + 4^2 = 5^2, а для всех четных степеней, начиная с 4-ой - решения нет.

Можно доказать - описывая в движении.
Представим, что по диагонали квадрата (3) навстречу друг другу выдвигаются два квадрата (это (1) – с левого нижнего угла и (2) – с верхнего правого угла), постоянно увеличиваясь в размерах. Этот процесс идет до момента, когда квадрат (4) станет равен сумме (5) и (6), которые, по рисунку, равны между собой. При этом (5) и (6),  как половинки квадрата (4)) являются прямоугольниками, одна сторона которых четна, а другая нечетна.
Поэтому квадрат (4) состоит из четырех нечетных квадратиков (7), а в (5) и (6) их по два. Становится ясно, что (7) является общим сомножителем для всех членов (Ф).
   Проведя разбивку вертикальными и горизонтальными линиями, в квадрате (3) имеем 25 квадратиков (7), а в (1) и (2) –  соответственно, 9 и 16.  Но, по условию, в (Ф) нет общих сомножителей, поэтому имеем уравнение: 3^2+ 4^2 = 5^2. То есть, 9 + 16 = 25 . Что и требовалось доказать.
   Кстати, если в (Ф) включим общий сомножитель для всех его членов, то квадрат этого сомножителя будет присутствовать во всех (7).
Для тех, кто не так силен в математике как Ландау, поясню подробнее.
   Мы знаем, что 3^2 + 4^2 = 5^2;  5^2 + 12^2 = 13^2;  7^2 + 24^2 = 25^2… и так до бесконечности. То есть, для квадрата каждого нечетного числа имеется квадрат четного числа, которые в сумме равны квадрату нечетного числа.
 То есть, при n = 2 может до бесконечности удлиняться четная сторона прямоугольников (5) и (6), а количество квадратиков (7) в квадрате (4) может расти до бесконечности – это: 4, 16, 36, 64 и т.д. Если в (Ф) нет общих сомножителей, то нечетная сторона (5) и (6) всегда = 1. И мы всегда можем проецировать (7) из квадрата (4) на все поле (3).
У рассматриваемых равенств (даже при n>2, если бы это было возможно) малый нечетный квадрат можно рассмотреть и внутри большего нечетного квадрата, так и снаружи. В последнем случае четному квадрату прибавляется лишь один дополнительный ряд (больше их может быть только в случае, если есть общие сомножители для всех членов уравнения – но их нет). Поэтому разность между стороной большого нечетного квадрата и стороной четного квадрата всегда = 1, что нормально при n = 2. Это видно на рис. 4, что рассматривали выше.
  Но такое невозможно для равенств, члены которых в степени выше, чем вторая. Ведь стороны их квадратов тоже равны числу, возведенному в какую-то степень. А разность двух положительных целых чисел (кроме 1), когда они в положительной степени, всегда больше единицы. Но это невозможно для данной теоремы. Что и требовалось доказать.
  Доказательство для нечетных степеней несколько другое.  Пусть его докажут ферматисты — нельзя отбирать конфетку у ребенка. Приведенное решение должно помощь им.
  Пьер был прав. Способ доказательства удивительный. Я сказал выше, что ему не были известны достижения современного раздела математики «Теория чисел». Занимаясь аналитической геометрией, он мог применить «метод геометрии», как и я.
  Иногда мечтатель желающий покорить океан, стоя на берегу, жадно вглядывается в его просторы. И не обратит внимания на лужу у ног. Я случайно обратил внимание. Это случилось 40 лет назад.

 Мой телефон - 89370230801  эл. почта - robert.magin@yandex.ru