На другой день, вернее ночь, Карандаш и Чистюлька гуляли в школьном саду и вчерашний день вспоминали. Чистюлька вздохнула печально, а потом улыбнулась.
– Как замечательно всё-таки, что ты ошибся и нечаянно поставил точку.
– Хорошо ещё, что ты её не стёрла, иначе мы бы никогда не познакомились с точкой А и её друзьями.
– А ведь точки приглашали нас в страну Геометрию в гости. Вот бы хоть одним глазком посмотреть, как они там живут.
– Да, мне тоже хотелось бы побывать там, но как это сделать!?
– Слушай, Карандаш, мы же волшебные, значит, как-то мы туда можем попасть.
Вдруг раздался голос точки А.
– Попасть в нашу страну просто, надо очень сильно захотеть.
Карандаш взволнованно посмотрел на Чистюльку.
– Поняла!? Представь, что мы уже в этой загадочной стране. Только волшебные очки не забудь.
Друзья закрыли глаза и сосредоточились на своём желании.
Когда они открыли глаза, то поняли, что находятся в незнакомом месте.
Карандаш взял за руку подругу.
– Смотри, Чистюлька, это город. Какой необычный. А цветов сколько!
Чистюлька огляделась:
– Интересно, кто здесь живёт?
Они прошли мимо маленьких аккуратных домиков, утопающих в зелени и вышли к высокому зданию, на котором была большая вывеска. Чистюлька тут же захотела её прочесть и потянула друга подойти поближе, но Карандаш остановил её.
– Смотри, к зданию двигаются геометрические фигуры.
– Какие?
– Издалека не видно.
Когда они подошли ближе, кто-то окликнул их:
– Карандаш! Чистюлька! Как я рада видеть вас.
К ним спешила точка А. Чистюлька тут же подбежала и обняла её.
– Здравствуй, точка А! Значит, мы всё-таки попали в страну Геометрию?!
– Попали, попали. Кто хочет, тот всегда добивается желаемого.
Карандаш подошёл ближе к девочкам.
– Приветствую тебя, точка А. А как называется этот город?
– Это наш город, Город Точек или Точкоград.
– А куда вы все спешите?
– Мы идём вот в это здание на работу.
– «Дом со-зи-да-ни-я»,- по слогам прочитала Чистюлька. - А что вы там созидаете?
– Хотите посмотреть?
Друзья кивнули.
– Тогда идите за мной.
Все наши герои вошли в красивое здание со стройными разноцветными башнями. Пройдя мимо нескольких дверей по широкому коридору, друзья оказались в светлой комнате со столами. Возле каждого из них копошились точки. Остановившись возле ближайшего стола, Карандаш и Чистюлька внимательно следили за работой двух, стоящих на этом столе, точек. Вот одна из них прыгнула на лист бумаги, расстеленный во весь стол. На листе появилась её маленькая копия. Точка прыгнула ещё раз, затем за работу принялась другая точка. Она прыгнула между двумя изображениями подруги. Затем точки разошлись в разные стороны и стали прыгать навстречу друг другу. Изумленные гости не могли вымолвить ни слова. Зато точки прыгали всё быстрее и быстрее и напевали весёлую песенку:
« Точка, точка, круг, овал-
Человечка нарисовал». А потом:
«Точка, точка, запятая, минус - рожица кривая
Ручки, ножки, огуречик – вот и вышел человечек».
Друзья подошли ближе и увидели, что на листе бумаги, действительно, появился контур фигуры, напоминающий смешного человечка.
Карандаш остановился возле стола, где точки прыгали по очереди и всегда одна рядом с другой.
– Так интересно наблюдать, как получается прямая линия,- сказал Карандаш Чистюльке и подошёл ближе.
– Здесь создали несколько прямых линий, правда? - обратился он к точкам.
Вместо ответа они, молча, отодвинулись в сторону, и он, действительно, увидел прямые линии.
– Эти линии все оживут? - спросил он у точки А.
– Некоторые оживут и поселятся в Городе Линий, а другие будут находиться в замке Феи, пока не понадобятся кому- то.
– А как будет известно, что линии нужны?
– Ты забыл, что у нас не простая страна, а волшебная. Наша Фея наделена особой силой провидения и предсказания. Если где-то возникнет необходимость в них, наши линии тут же окажутся в нужном месте.
– А для людей линии я рисую,- сказал Карандаш с гордостью.
– Да, без карандаша трудно нарисовать что-то, но в геометрии линии не рисуют, а чертят. А иногда можно создать сразу геометрическую фигуру,- сказала точка А.
– Как это?
– Ты забыл о современных технологиях.
– Точно, есть ведь ещё компьютерная графика. Я пытаюсь рисовать на компьютере.
В это время точки с первого стола подняли свой лист, понесли его к окошку в стене и положили на подоконник. Лист тут же исчез.
– Куда делся лист? - поинтересовалась Чистюлька у точки А.
– Листы отправляются в замок к Фее.
– Как бы хотелось попасть в этот замок и увидеть вашу Фею.
Точка А задумчиво посмотрела на друзей и сказала:
– Я узнаю, возможно, ли это, - и вышла.
Через несколько минут она вернулась.
– Сейчас Фея занята, но она обязательно примет вас сегодня. А пока продолжим экскурсию.
Чистюлька подошла к соседнему столу, где точки прыгали на лист бумаги в разных местах. Чистюлька долго стояла них, потом спросила у точки А:
– Интересно, что может получиться из такого беспорядочного движения?
– Получится множество точек. Разве ты не слышала о множествах?
– Нет, не слышала.
– Вам надо срочно посетить нашу геометрическую школу.
Чистюлька с мольбой посмотрела на Карандаша.
–Вот видишь, подруга, оказывается, везде нужно учиться.
Наконец, Чистюлька обрела дар слова.
– Кого же учат в вашей школе?
– Всех, кто захочет, ведь каждая фигура, линия или точка хорошо знает и умеет применять только свои определённые функции, но знать нам нужно и многое другое. Вот для этого и существует наша школа. Хотите попасть туда?
– Хотим, хотим,- закричала Чистюлька за себя и за друга.
Точка А провела их в пустую комнату, где были небольшие возвышения. На стене располагался щит с кнопками.
Точка А подошла, нажала на крайнюю слева кнопку. Одно из круглых возвышений начало медленно кружиться. Точка А указала на него.
– Вставайте сюда.
Как только друзья выполнили её пожелание, тут же оказались в вестибюле просторного высокого здания. Друзья поняли, что это школа.
Точка А исчезла, но не успели они испугаться, как она появилась.
– Сейчас я вас провожу в класс, где сегодня изучают множества.
Друзья очень тихо вошли в указанный класс и сели за последнюю парту. Они с интересом смотрели по сторонам. За партами сидели разные геометрические фигуры: и точки, и треугольники, и прямоугольники. Учителем же был человек в чёрной одежде с седой бородой. Он не смотрел на класс. Всё время казалось, что он спит и ничего не видит, но только Чистюлька подняла руку, как он тут же спросил:
– Что интересует наших гостей?
– Нас интересуют множества.
– Треугольник, что ты знаешь о множествах? - спросил учитель.
Треугольник рассказывал громко, чётко и понятно. Наши путешественники узнали много интересного. Например, что под множеством в математике понимают какую – либо совокупность предметов или понятий. В математике множество может состоять из одного, двух или нескольких предметов. Предметы, из которых состоит множество, называются элементами множества. Говорят, также, что эти элементы принадлежат множеству. Множество, не содержащее никаких элементов, называют пустым.
Чистюлька внимательно выслушала ответ, а потом спросила:
– А множество точек бывает?
Теперь учитель попросил к доске ученицу.
Точка О рассказала, что луч — множество точек прямой, лежащих по одну сторону от данной точки O (включая саму точку O). ²
Объединение открытого луча с его началом — точкой O — называется лучом с началом в O.
OA — обозначение луча с началом O, содержащего точку A.
Лучами также называют бесконечные промежутки (полупрямые) числовой прямой.²
Тут встала точка М и рассказала о графическом изображении множеств с помощью диаграмм. Она вышла к доске и нарисовала три круга: в одном было две точки, в втором - очень много, даже невозможно пересчитать, в третьем не было ничего. Друзья догадались, что в последнем круге пустое множество.
Точка N показала на доске пересечение множеств, когда два круга имеют общую часть, где расположены геометрические фигуры, принадлежащее, как множеству А, так и множеству В.
Друзья поблагодарили учителя и учеников за новые знания. Когда Карандаш и Чистюлька вышли из класса, точка А ждала их в коридоре.
– Фея ждёт вас.
Друзья прошли опять в комнату, где были необычные лифты, один из которых перенёс их к замку Феи.
Замок Феи страны Геометрии был в розовых тонах с башенками и окнами, которые, казалось, смотрели на тебя и о чём-то спрашивали. Ворота во двор замка были открыты.
Точка ввела друзей в замок, затем в кабинет, где их уже ждала Фея. Правительница страны Геометрия сидела за большим столом и работала на компьютере. Чистюлька шепнула другу:
– Я думала, Феи пользуются только волшебством.
Фея посмотрела на друзей, улыбнулась
.–Надо идти в ногу со временем всем, даже феям. Что бы вы хотели узнать у меня, мои милые друзья?
Карандаш несмело начал:
–Мы бы хотели посмотреть, где у Вас хранятся работы из Дома созидания.
–Хорошо.
Фея чуть топнула ногой, и все оказались в комнате-складе, где на полках лежали разные геометрические фигуры. Приглядевшись, гости сообразили, что они лежали в определённом порядке: у одной стены - круги и овалы, у другой - прямоугольники, у противоположной - пятиугольники и т.д. Все фигуры лежали неподвижно, казалось, что они спят.
Чистюлька поинтересовалась:
– Скажите, пожалуйста, за каким фигурами к Вам обращаются чаще всего?
– Чаще всего нужны точки, так как они используются не только в математике, но и в грамматике, хотя имеют разное значение.
Фея вопросительно посмотрела на друзей. Карандаш подумал и сказал:
– Точка - самая элементарная геометрическая фигура, поэтому она и нужна всем.
Чистюлька кивнула в знак согласия.
Фея уточнила, что точка — это самая малая геометрическая фигура, которая является основой всех прочих построений (фигур) в любом изображении или чертеже.¹ Всякая более сложная геометрическая фигура — это множество точек, которые обладают определенным свойством, характерным только для этой фигуры.
Чистюлька направилась к закрытой двери, посмотрела на неё, но не решилась спросить, что там.
– Здорово у Вас всё устроено.
Фея заметила её взгляд и подошла к таинственной двери. Чистюлька подвинулась ближе.
– Сюда нельзя входить,- остановила Чистюльку Фея, - здесь находятся герои нашей страны, которые ещё не появились в жизни.
– Они все добрые? - спросил Карандаш.
– Все не могут быть добрыми. Есть и злодеи, но без них не было бы трудностей, не было бы побед. Но наши злодеи никого не убивают. Они живут за счёт ошибок людей, допущенных вследствие лени и неаккуратности, но мы их перевоспитываем.
Фея вновь топнула ногой, и друзья оказались в большом зале, где находились в непрерывном движении разные геометрические фигуры.
Карандаш и Чистюлька, не отрывая глаз, смотрели на их превращения. Фея сказала:
– Здесь фигуры соединяются, образуя новые. Если такие готовы служить своей стране, я выпускаю их. Они идут жить в любой город нашей страны. Всё, что вы просили, я показала. У вас есть ещё ко мне вопросы?
–Спасибо. Мы многое поняли.- Карандаш поклонился Фее.
Фея улыбнулась друзьям и сказала:
– Вы сможете в любое время посещать нашу страну. У вас с её
