Современная математика. Исток. Проблемы. Перспективы

нулевой…
-------------------------------------------------------------

Теорема о соотношении квадратов сторон в прямоугольном треугольнике, дедуктивно доказанная Пифагором, очевидной и без-полезной уже не была и целиком опиралась на логику и на разум. Для неё уже необходимо требовались незаурядные математические способности, требовался живой аналитический ум, настроенный на отвлечённое абстрактное мышление. И, может быть, поэтому не так уж и не правы те, кто именно Пифагора, а не Фалеса, считают всё-таки первым математиком мiра, с которого сия наука, собственно, и началась…

Давайте здесь остановимся на минуту, Читатель, и попытаемся повнимательнее и поподробнее разобраться в том, что же такое особенное сделал для науки Пифагор, и в чём состоит его первостатейное и определяющее значение как учёного.
То, что в любом прямоугольном треугольнике, подчеркнём - в любом, квадрат гипотенузы по площади равен сумме квадратов катетов, знали задолго до Пифагора: не он сформулировал это поистине золотое правило. Его давно и с успехом применяли древние землемеры и градостроители, и оно их ни разу не подвело. Поэтому-то оно и передавалось из поколения в поколение в виде крайне полезной памятки или инструкции для работы, было многократно и повсеместно проверено на практике и доказало всем пользователям свою несомненную плодотворность, истинность и эффективность. Чего же, казалось бы, ещё?! Говоря современным языком, древние землемеры и градостроители использовали нарождавшуюся математику чисто эмпирически: сиречь, если они убеждались, что какой-то результат верен при многократном повторении, они обобщали его и думали, что он будет верен всегда. Теперь это называется индуктивным рассуждением или методом. Дети и внуки с успехом применяли полученное от предков золотое правило, не понимая и не задумываясь о том, почему оно так работает и не даёт сбоев.
И то, что сделал Пифагор, было действительно грандиозно и революционно: он однажды понял и решил, что можно превратить золотое правило древних землемеров и градостроителей в АБСОЛЮТНУЮ ИСТИНУ, подключив к этому делу разум и логику. Только-то и всего!
Фалес, напомним, уже начал робко заниматься выведениями первых доказательств в геометрии, - но именно Пифагор и его школа превратил поиск строгого математического доказательства древних эмпирических правил и методов в систематическую программу.
Этот человек осознал и сделал поистине удивительное: пришел к выводу, что прежние памятки и инструкции могут быть доказаны для всех случаев жизни дедуктивно, с помощью правил логики. И тогда они все резко и качественно поменяют статус: станут вечными и безальтернативными ИСТИНАМИ, которые невозможно будет оспорить. Никогда и никому! Согласитесь, что цель Пифагором ставилась Великая и Благая, поистине Космическая!... Но для этого эмпиризму, чувственному восприятию и познанию мiра, он решил противопоставить РАЗУМ, РАЦИОНАЛИЗМ. Мало того, он предъявил доказательство, основанное на строгих логических правилах и образованное рядом шагов, которые любой желающий мог рассмотреть и понять лучше, чем тысячи сомнительных в плане качества экспериментов. Насколько теперь известно, Пифагор был первым, кто стал думать о том, что такие доказательства не только возможны, но и достижимы систематически. Поэтому он и заслуживает титула отца математики.
Пифагор высоко поднял планку поиска ВЕЧНЫХ ИСТИН для последующих поколений учёных: после его блистательных работ уже недостаточно было найти правило, проверить его на практике много раз и признать его истинным. Это уже не работало, как раньше, и доверия не вызывало ни сколько. Теперь в математике требовалось всё доказывать и логически обосновывать с бумагой и карандашом в руке. И только потом уже предъявлять мiру в качестве очередной сенсации. И хотя довольно часто это оказывалось чрезвычайно сложно сделать на практике (сие происходит и поныне в виде многих не решённых проблем и задач), - рациональный подход Пифагора был и плодотворным, и ярким на удивление, и крайне эффективным, очаровавшим до глубины души всех исследователей. И будущие математики, несмотря на все трудности и неудачи, уже не готовы были отказываться от его ДЕДУКТИВНОГО МЕТОДА и возвращаться назад, к эмпирике...

2

Теорема Пифагора, помимо величайшей важности её самой по себе - как первого сугубо абстрактного заключения, получившего форму АБСОЛЮТНОЙ ИСТИНЫ! или умозрительного закона! - довольно скоро должна была привести пифагорейцев и к другому наиважнейшему математическому результату - к открытию несоизмеримости величин (традиция приписывает открытие несоизмеримости катетов и гипотенузы в прямоугольном треугольнике непосредственному ученику Пифагора - Гиппасу; доказательство же несоизмеримости приводится Евклидом в приложении к X книге «Начал»). И это открытие превратилось для древних математиков в неразрешимую проблему под №1, которая с неизбежностью подталкивала их к мысли, что арифметика - коварная вещь! И геометрию, ввиду этого, следует развивать независимо от арифметики.
Вывод или даже принцип этот, отчётливо прослеживавшийся уже в платоновских диалогах, получил своё полное завершение у Евклида, который в своих без-смертных «Началах» геометрически изящно доказывает то, что следовало бы на теперешний взгляд, что проще было бы доказывать алгебраически…

Что же касается самих пифагорейцев, - то интеллектуальной гордости их был нанесён тяжелейший удар: материальный мiр, как с очевидностью выяснялось, не был основан исключительно на числе как основной сущности. И ученики и последователи Пифагора из числа скептиков были вынуждены провести различие между величиной и числом, между длинами, измеряемыми в геометрии, и числами, выражаемыми арифметически. Не удивительно и закономерно даже, что обе дисциплины начали отдаляться друг от друга, и только работы математиков XVI и XVII веков Франсуа Виета, Ферма и Рене Декарта смогли воссоединить их…

3

Логически-непротиворечивой арифметической теории несоизмеримых величин математикам древности не удалось создать по вполне объективным причинам - из-за недостатка знаний и навыков. Поэтому все свои силы, математический талант и гений творческий они бросили на геометрию, в которой им на удивление многого удалось добиться - фантастически многого! - и без чего современная точная наука была бы немыслима и невозможна.
Создание Евдоксом геометрической теории пропорций взамен теории арифметической, пифагорейской, не работавшей в иррациональном поле, в которой Евдокс умело, тонко и очень умно обходит все трудности, связанные с несоизмеримостью, с иррациональным числом (он ввёл, наряду с числами, понятие геометрических величин - длин, площадей, объёмов; для однородных величин были определены и арифметические операции, аналогичные числовым), - если и не подтверждает, то весомо иллюстрирует последнее авторское предположение…

4

Перед самим Пифагором проблема несоизмеримости ещё не стояла: свидетельств этому нет, - и основу современного научного знания - дедуктивное доказательство - он распространил со временем и на милую его сердцу арифметику, при помощи которой он надеялся описать весь мiр, пронумеровать и пересчитать все земные объекты и даже их свойства. В частности, им пишется трактат «Об элементах чисел, как элементах реального мiра», создаются  первые образцы теории чисел: учение о чётном и нечётном, теория фигурных чисел. Эти его блистательные работы выделили арифметику в самостоятельную отрасль теоретической науки, отдалив её тем самым от безраздельно господствовавшего до того искусства счёта, искусства, не достойного больших умов.
Так что современная математика, если рассуждать объективно и строго, в смысле доказательного дедуктивного обоснования именно с Пифагора и начинается: это есть твёрдо-установленный факт, от которого никуда не деться…

5

Помимо одноимённой теоремы и перечисленных арифметических работ традиция приписывает этому уникальному человеку создание теории пропорций, ставшей важным связующим звеном между арифметикой, геометрией и гармоникой, которая так пригодилась Пифагору в его акустических исследованиях. Ему вполне могут принадлежать ещё и целый ряд планиметрических теорем из первых четырёх книг Евклида.
Это довольно много, если принять во внимание широту интересов и увлечений Пифагора, его необычайно насыщенную общественно-ориентированную жизнь. Математика никогда не являлась единственной его страстью, и на занятия ею он тратил лишь малую толику своих интеллектуальных сил, умственных своих способностей.
Во времена Пифагора активно закладывался фундамент всей будущей геометрии, формулировались первые основные аксиомы её (они были уже в ранне-пифагорейском математическом учебнике, содержавшем, по мнению Б.Л. ван дер Вардена, основу первых четырёх книг Евклида), первые геометрические определения. Согласно традиции, или преданию, Пифагор же первым стал давать определения в математике. И если Фалес первым из сохранившихся математиков древности занялся “угловой” геометрией, то Пифагор сделал следующий шаг и положил начало стереометрии, построив правильный тетраэдр и куб.
А если к его собственным работам добавить ещё и созданную им школу математиков, полтора столетия, в рамках пифагорейского союза, определявшую развитие этой науки, прямо или опосредованно (через учителей-пифагорейцев) давшую мiру Гиппаса, Феодора и Архита, Демокрита, Гиппократа, Гиппия, Теэтета и Евдокса, - то станут понятными и та безграничная любовь, и то безмерное уважение, которое на протяжении долгого-долгого времени испытывали люди к этому удивительнейшему человеку.
«Расцвет точных наук в этой школе, - как свидетельствуют современные исследователи пифагореизма, - связан с тем, что уже во времена Пифагора в ней были объединены четыре родственные науки - арифметика, геометрия, астрономия и гармоника - и этот квадривиум не только разрабатывался, но и преподавался последующим поколениям. Это позволяло постоянно накапливать новые знания и сохранять их, а вместе с тем приобщать к занятиям математикой именно в том возрасте, который благоприятен и для её изучения, и для самостоятельного исследования. Пифагорейская традиция, поддержанная софистами и закреплённая авторитетом Платона, пережила и античность, и средневековье, она сохраняет свою ценность и в наши дни»…

Отметим ещё, что из ранних пифагорейских математиков в анналы Истории попал один лишь Гиппас, и только… Но за время, а это более 150 лет, прошедшее от Пифагора до Гиппократа Хиосского (которому Евдем приписывал создание первых «Начал») пифагорейцы достигли в математике слишком многого, чтобы всё это связывать с одним лишь Гиппасом… Значит, были в этот временной промежуток и другие имена из знаменитой пифагоровой школы, не дошедшие до нас…

6

В творческом наследии Пифагора существует и ещё одна научная работа, которая заметно выделяется среди прочих его математических прозрений и озарений. И связана она уже не с абстрактным, а с реальным мiром, связана с музыкой, звучащей в нём.
Пифагор, как гласят легенды, любил,