Современная математика. Исток. Проблемы. Перспективы

ценил и понимал музыку, наслаждался ею, отдыхал под её чарующие звуки от повседневных утомительных дел. Более того, он якобы считал музыкальное искусство одним из важнейших средств этического воспитания молодёжи, способным смягчать “необузданность души”/Аристоксен/, очищать, утолять и врачевать душу. Среди своих учеников он “использовал врачебное искусство для очищения тела, а музыку - для очищения души”/Аристоксен/.
Но Пифагор не стал бы Пифагором - человеком, чьё имя с неописуемым восторгом и трепетом на устах повторяли из года в год, из столетия в столетие многие поколения его верных последователей и учеников, - если бы, оставаясь всю жизнь одним из благодарных и усердных слушателей, он не попытался разгадать волшебство музыкальной гармонии, отыскать исток её неиссякаемой чудодейственной силы.
Истока этого он, конечно же, не отыскал; зато нашёл кое-что другое, чрезвычайно интересное и важное для себя и для своего окружения; а в итоге - и для всей мiровой науки в целом…

7

Исследователи утверждают, что для разгадки музыкальной тайны, равно как и способности музыки воздействовать на души людей, Пифагор изготовил специальный прибор под названием монохорд. И прибором этим, как золотым ключиком из сказки, он решил распахнуть двери в волшебный музыкальный мiр, в его спрятанные от посторонних глаз звенящие и чарующие кущи. Этот знаменитый пифагоровский монохорд, представлявший собой обыкновенную гладко-оструганную доску с делениями и натянутой на неё струной, и впрямь оказался “золотым”, потому как позволил проницательному изготовителю выудить из окружающего мiра первый его естественный закон, первую, из глубины веков дошедшую до нас, физическую закономерность.
Зажимая звучащую струну монохорда в различных местах доски, сознательно струну укорачивая, Пифагор обнаружил, что высота звучания оставшейся части обратно пропорционально её длине, и что получающиеся в результате этого музыкальные тона могут быть созвучными и несозвучными основному тону.
Созвучные - симфонные - тона сливаются с основным тоном при их одновременном звучании, а несозвучные - диафонные - не сливаются с ним никогда…

Далее Пифагор, заставляя звучать сначала всю струну, а затем - поочерёдно - её половину, две трети и три четверти, установил, что музыкальные тона, звучащие при этом, более всего созвучны основному тону, устойчиво созвучны.
  Интервалы, соответствующие этим трём тонам, Пифагор назвал октавой, квинтой и квартой (знаменитая “пифагорейская гамма”), а его ученики впоследствии добавили к ним ещё и двойную октаву, большую и малую терции, добавили дуодециму и ундециму.
«Не так уж много и сделали, чтоб воздавать им такие почести», - завистливо ухмыльнувшись краями губ, скажет, может быть, читая всё это, современный учёный-естествоиспытатель, сумевший настрочить и издать целую гору пустопорожних книг и уже при жизни увенчанный за это многочисленными академическими наградами. Скажет - и будет не прав совершенно в своём высокомерном отрицании чужих, покоя не дающих заслуг. Хотя бы потому уже, что из тех первых гармонических интервалов Пифагора и его учеников выросла впоследствии вся музыкальная теория древности, которая превратилась с годами в незыблемый и незаменимый фундамент музыки мiровой, сделалась её первым, так сказать, записанным на бумаге, аккордом.
Согласен, что эксперимент Пифагора с монохордом был на удивление незатейлив и прост, и доступен для понимания и воспроизводства любому современному школьнику. Для его математического описания его автору понадобились всего-навсего четыре натуральных числа (“тетрактида” Пифагора) и довольно простенькая на теперешний взгляд теория пропорций, которую он сам же, как утверждает традиция, и разработал. Но это был первый в истории мiровой науки эксперимент (из сохранившихся и до нас дошедших), позволивший математически точно выразить одну очень важную физическую закономерность! И потому он по праву позволяет считать Пифагора первым учёным-естествоиспытателем Мидгард-земли, первым физиком, которому научный мiр обязан одной из центральных своих идей, оплодотворившей развитие всего мiрового естествознания, а именно: Природа подчинена скрытым закономерностям, которые можно выразить ЧИСЛОМ; и потом - лучше оценить и понять… при помощи математики…

8

Математическая запись первых трёх гармонических интервалов поразила Пифагора и его многочисленных учеников уже одним своим замечательным фактом. Она показала им всем впечатляющую силу первых математических теорий (теории пропорций, в частности), способных простыми числовыми соотношениями описывать такую неуловимую и необъяснимую, казалось бы, вещь, как музыкальная гармония, способных подчинить её себе. Неудивительно поэтому, что ЧИСЛО, с успехом заменившее Пифагору звук, ставшее его математическим эквивалентом по сути, было превращено его учениками в настоящее божество, с помощью которого они пытались с тех пор если и не разгадать магическую тайну бытия, то уж во всяком случае приблизиться к её разгадке.
Вся философия пифагорейцев формируется вокруг числа, все их мистерии тайные и культы. Философию эту естественным образом они распространяли и на физический, тварный мiр, пытаясь по примеру своего духовного вождя отыскать там простейшие числовые закономерности.
Это было не просто сделать, - но они старались, памятуя наказ Учителя, посмертно оставленный им. Исследуйте и изучайте окружающую вас действительность, не ленитесь,  - из глубины и дали небесной как бы говорил им Пифагор всем своим творчеством. - И смелее поверяйте её ЧИСЛОМ, которое не подведёт, не обманет, не запутает и не фальсифицирует; наоборот, выведет вас на путь истинный. Ибо ЧИСЛО есть нечто абсолютное и универсальное в Природе, реальное, вечное и неуничтожимое, как и сама материя, которой оно служит эквивалентом или надёжным мерилом всего. Оно, ЧИСЛО, выражаясь геометрическим языком, даёт ЗАКОН ПРОТЯЖЕНИЯ, “образует” тела и объекты на Земле и в Космосе. И уже одним только этим определяет тончайшие основные законы нашего естественного мiра, лежит в основании их. “Все вещи - суть числа”. По числовым соотношениям слагается и действует всё, “всё познаваемое имеет число” и без него мы не станем разумными…


Часть третья

«Чистая математика - это такой предмет, где мы не знаем, о чем мы говорим, и не знаем, истинно ли то, что мы говорим» /Бертран Рассел/.

1

Дорога, указанная Пифагором как магистральный путь развития всего мiрового естествознания вообще и математики в частности, не стала для древних приверженцев “царицы наук” столбовой: не много тогда нашлось учёных, поверивших прозорливому посланцу Неба, сумевших разглядеть и оценить по первому положительному опыту всю будущую выгодность его наработок и идей.
К числу этих немногих с полным правом и основанием можно отнести трёх величайших математиков Древности, немало сделавших и для зарождавшегося уже тогда естествознания, - Гиппаса (вслед за Пифагором активно занимавшегося акустическими исследованиями, добавившего к трём гармоническим интервалам Учителя двойную октаву (4:1) и дуодециму, состоящую из октавы и квинты (3:1)); Архита (пытавшегося, помимо прочего, будто бы даже создать первую механическую вычислительную машину, прототип современного арифмометра, человека, которому сам Аристотель посвятил специальное сочинение) и Архимеда - одного из самых выдающихся математиков за всю мiровую историю, на много веков (если исходить из тех его сочинений, что дошли до нас через десятые руки) опередившего своё время и заложившего основы современного математического анализа, умудрявшегося решать с минимальными средствами сложнейшие задачи (квадрирование параболы или спирали, например).

---------------------------------------------------------
(*) Историческая справка. Архимед был последним учёным из той великой плеяды творцов, отцов-основателей современного естествознания, кто в полной мере понимал - и всё его богатейшее естественнонаучное наследие свидетельствует именно об этом, - насколько полезен и плодотворен может быть для науки путь, указанный ей Пифагором. Математика в его работах систематически применялась к решению задач естествознания и техники, порождая при этом такое обилие вычислений, которое заметно отличало его от большинства творческих деятелей Древнего Классического Мiра.
Склонность Архимеда к практическим применениям представляется тем более странной, если учесть, с каким презрением относились к этому современники его - учёные-математики из школы Платона, да и сам “король математиков” Евклид, - считавшие “низким и недостойным делом механику и искусство любого рода, если оно имеет целью пользу или выгоду, и все свои честолюбивые притязания основывавшие на тех умозрениях, красота и тонкость которых не запятнаны какой-либо примесью обычных житейских нужд”/ Плутарх /.
После Архимеда математика и физика, окончательно потеряв интерес друг к другу, надолго разошлись. Но разошлись для того только, чтобы потом, окрепнув поодиночке, встретиться вновь. Встретиться - и уже никогда не расставаться более, и только радовать и радовать научный мiр своим пламенным любвеобильным союзом!…
---------------------------------------------------------

Работы этих талантливейших учёных, впоследствии лёгшие в основания акустики и механики, статики и гидродинамики, дифференциального и интегрального исчисления наконец, от начала и до конца были проникнуты одной-единственной, организовывавшей и окрылявшей всё их богатейшее творчество, идеей: люди, верьте Пифагору! учитесь у него! смелее применяйте всевозможные математические методы к экспериментальному решению физических проблем и задач! Путь этот - единственно верный и плодотворный для науки, для отыскания и описания большинства закономерностей - явных ли, скрытых ли, - которым подчинён окружающий нас мiр…

Но… пламенный призыв Пифагора и его единомышленников поверять ЧИСЛОМ гармонию материального мiра большинством учёных Древности подхвачен и продолжен не был. Увы и ах! И на то имелись более чем веские причины, связанные с нешуточными проблемами, полученными как бы в довесок к тому позитиву и Свету Знания, что оставил после себя Пифагор.
Геометрические исследования пифагорейцев, основанные на идеализированных понятиях точек, линий и других фигур, почти сразу же вызвали резкую критику со стороны учёного сообщества. Зенона Элейского, например, который своими апориями поставил перед математиками законный вопрос: а как реальный, а не абстрактный путь движения может состоять из непротяжённых, не имеющих размера точек? Вопрос, который сразу же превратился в нешуточную проблему адекватности физического движения и его математической модели.
И со временем эта проблема не исчезла, не потеряла своей актуальности и остроты. Наоборот, расширилась и углубилась многократно, и теперь звучит уже угрожающе со всех университетских и академических кафедр, а именно: как преодолеть пропасть между дискретным и непрерывным, арифметикой и геометрией? И можно ли её вообще преодолеть? По силам ли это современному человеку? Вот так теперь ставится